Bài tập Đạo hàm Toán lớp 11 vừa được Vn
Doc.com tổng hợp và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.
Bạn đang xem: Bài tập đạo hàm có đáp án
1. Đạo Hàm
1.1. Quy Tắc Đạo Hàm
Cho u = u(x), v = v(x), C: là hằng số
(u + v)" = u" + v"(u.v)" = u".v + v". u ⇒ (C.u)" = C.u"
1.2. Công thức Đạo hàm
(C)" = 0 ; (x)" = 1(xn)" = n.xn - 1 ⇒ (un)" = n.un - 1.u"; (n ∈
Tham khảo bài: Bảng đạo hàm cơ bản
1.3. Công thức tính gần đúng:
f(xo + Δx) ≈ f(xo) + f"(xo).Δx
1.4. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong
Tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) tại M(xo; yo), có phương trình là: y = f"(xo).(x - xo) + yo.
Khi biết hệ số góc của tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) có hệ số góc là k thì ta gọi M(xo; yo) là tiếp điểm => f"(xo) = k (1)
Giải phương trình (1) tìm xo suy ra yo f"(xo)Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng: y = k(x - xo) + yo.Chú ý:
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M(xo; yo) ∈ (C) là k = f"(xo) = tanα. Trong đó α là góc giữa chiều dương của trục hoành và tiếp tuyến.Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc của chúng bằng nhau.Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng .Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x1; y1):
Viết phương trình tiếp tuyến của y = f(x) tại M(xo; yo): y = f"(xo).(x - xo) + yo. (1)Vì tiếp tuyến đi qua A(x1; y1) => y1 = f"(xo).(x1 - xo) + f"(xo) (*)Giải phương trình(*) tìm xo thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến.2. Bài tập Đạo hàm lớp 11
Bài 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
Đáp số:
a.
b.
c. y" = x3 - x2 + x - 1
Bài 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
Đáp số:
| a. y" = 12x5 - 8x -15x4 + 6 | b. y" = 18x2 + 2x - 2 |
| c. | d. y" = -1/(x- 1)2 |
| e. y" = -6/(2x - 5)2 | f. y" = (x2 - 2x -1)/(x - 1)2 |
| g. y"=(8x3 - 8x2 + 4x - 10)/(2x + 1)2 | h. y" = 1 + 2/(x + 1)2 |
| i. y" = (-5x2 + 6x + 8)/(x2 + x + 1)2 | k. y" = (-5x2 + 6x + 8)/(x2 - x + 1)2 |
Bài 3: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
Bài 4: Cho hàm số
%7Bx%5E2%7D%20-%20mx%20%2B%203)
a. y" ≤ 0, ∀ x∈
b. y" = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng âm.
c. y" = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện x12 + x22 = 3.
Bài 5: Cho hàm số (C): y = mx4 + (m2 - 9)x2 + 10 (1) (m là tham số). Xác định giá trị của m để hàm số có y" = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 6: Cho hàm số (C): y = x2 - 2x + 3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C):
a. Tại điểm có hoành độ x0 = 2
b. Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x - y = 9
c. Vuông góc với đường thẳng 2x + 4y - 2011 = 0
d. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 0)
Bài 7: Cho hàm số:
a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(-1;-1)
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
d. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): 4x - y + 1 = 0
e. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d"): 4x + y - 8 = 0
Bài 8: Cho hàm số y = x3 - 3x2 (C)
a. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1;-2)
b. Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị (C) không đi qua I.
Bài 9: Cho hàm số:
Bài 10: Cho hàm số (C):
Bài 11:
a. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x4 - 2x2 + 5 tại điểm A(2;13).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2 biết tiếp tuyến song song với d có phương trình y = -3x + 2
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2 biết tiếp tuyến song song với d có phương trình y = -3x + 2
d. Cho hàm số y = 3x3 + x2 - 2 có đồ thị C. Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y" = 0 là bao nhiêu?
e. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x3 - 3x + 1 tại điểm có hoành độ = 1 có hệ số góc là k bằng bao nhiêu? Tìm điểm cực tiểu của hàm số: y = -x2 + 2x - 1?
---------------------------------------------------------
Trên đây Vn
Doc.com vừa giới thiệu tới các bạn bài viết Bài tập Toán lớp 11: Đạo hàm. Bài viết giới thiệu tới chúng ta các kiến thức đạo hàm cần nhớ và một số các dạng bài tập đạo hàm trong chương trình lớp 11. Mong rằng qua đây các bạn có thêm thật nhiều tài liệu để phục vụ cho việc học tập nhé. Mời các bạn cùng theo dõi thêm.
Muốn giải được bài tập đạo hàm tốt thì trước tiên bạn phải xem lại công thức đạo hàm đã được học ở bài trước. Dựa vào lý thuyết đó bạn sẽ dễ dàng luyện được kĩ năng giải bài tập đạo hàm hiệu quả.
Bài tập đạo hàm có lời giải
Bài tập 1: Hãy tính đạo hàm cơ bản sau $y = {x^3} – 3{x^2} + 2x + 1$
Giải
Sử dụng công thức đạo hàm ta có: $y’ = \left( { – {x^3} + 3x + 1} \right)’ = 3{x^2} – 6x + 2$
Bài tập 2: Cho hàm số có chứa căn như sau $y = \frac{{2x + 1}}{{x – 3}}$. Hãy tính đạo hàm
Giải
Vận dụng công thức đạo hàm của hàm hợp: $y’ = \frac{{(2x + 1)"(x – 3) – (x – 3)"(2x + 1)}}{{{{(x – 3)}^2}}} = \frac{{ – 7}}{{{{(x – 3)}^2}}}$
Bài tập 3: Cho một hàm số $f(x) = \sqrt {{x^2} – x + 1} + \sqrt {{x^2} + x + 1} $. Hãy tính đạo hàm
Giải
Sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta giải như sauTa có: $f"(x) = \frac{{2x – 1}}{{2\sqrt {{x^2} – x + 1} }} + \frac{{2x + 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x + 1} }}$Suy ra $f"(x) = 0 \Leftrightarrow \left( {1 – 2x} \right)\sqrt {{x^2} + x + 1} = \left( {1 + 2x} \right)\sqrt {{x^2} – x + 1} $$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (1 – 2x)(1 + 2x) \ge 0\\ {(1 – 2x)^2}\left< {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right> = {\left( {1 + 2x} \right)^2}\left< {{{\left( {x – \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right> \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – \frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}\\ {(1 – 2x)^2} = {(1 + 2x)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0 \end{array}$
Bài tập 4: Cho hàm số $y = {\sin ^2}3x$. Hãy tính đạo hàm
Giải
Đây là hàm số lượng giác nên ta vận dụng công thức đạo hàm của hàm lượng giác suy ra
$y’ = 3\sin 6x$
Bài tập 5: Cho hàm số lượng giác $y = \sqrt {3{{\tan }^2}x + \cot 2x} $. Hãy vận dụng công thức đạo hàm lượng giác để tính đạo hàm
Giải
Vận dụng công thức đạo hàm lượng giác và hàm hợp:
Ta có: $y’ = \frac{{3\tan x(1 + {{\tan }^2}x) – (1 + {{\cot }^2}2x)}}{{\sqrt {3{{\tan }^2}x + \cot 2x} }}$
Bài tập đạo hàm phân theo dạng
Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Bài tập 1: Cho hàm số f(x) = x2 + 2x, có Δx là số gia của đối số tại x = 1, Δy là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó Δy bằng:
A. (Δx)2 + 2Δx
B. (Δx)2 + 4Δx
C. (Δx)2 + 2Δx – 3
D. 3
Giải
Đáp án: B
Δy = f(1 + Δx) – f(1) = (1 + Δx)2 + 2(1 + Δx) – (1 + 2) = (Δx)2 + 4Δx
Đáp án B
Bài tập 2: Đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho: f(x) = x2 + 1 tại x = 1?
A. 1/2
B. 1
C. 0
D. 2
Giải
Bài tập 3: Đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho: f(x) = 2x3 + 1 tại x = 2?
A. 10
B. 24
C. 22
D. 42
Giải
Đáp án: B
Ta có
Vậy chọn đáp án là B
Dạng 2: Tính đạo hàm bằng công thức
Bài tập 4: Đạo hàm của hàm số y = (2x4 – 3x2 – 5x)(x2 – 7x) bằng biểu thức nào dưới đây?
A. (8x3 – 6x – 5)(2x – 7)
B. (8x3 – 6x – 5)(x2 – 7x) – (2x4 – 3x2 – 5x)(2x – 7)
C. (8x3 – 6x – 5)(x2 – 7x)+(2x4 – 3x2 – 5x)(2x – 7)
D. (8x3 – 6x – 5) + (2x – 7)
Giải
Đáp án: C
Áp dụng công thưc đạo hàm hàm hơp (uv)’= u’v + uv’ ta có:
y’ = (8x3 – 6x – 5)(x2 – 7x) + (2x4 – 3x2 – 5x)(2x – 7)
Chọn đáp án là C
Bài tập 5: Đạo hàm của hàm số f(t) = a3t4 – 2at2 + 3t – 5a bằng biểu thức nào sau đây?
A. 4a3t3 – 4at + 3
B. 3a2t4 – 2t2 – 5
C. 12a2t3 – 4at – 2
D. 4a3t3 – 4at – 5
Giải
Đáp án: A
f"(t) = 4a3t3 – 4at + 3
Chọn đáp án là A
Bài tập 6: Đạo hàm của hàm số f(x) = a3 – 3at2 – 5t3(với a là hằng số) bằng biểu thức nào sau đây?
A. 3a2 – 6at – 15t2
B. 3a2 – 3t2
C. -6at – 15t2
D. 3a2 – 3t2 – 6at – 15t2
Giải
Đáp án: C
f(t) = a3 – 3at2 – 5t3
f"(t) = -6at – 15t2
Chọn đáp án là C
Dạng 3: Tính đạo hàm của hàm số lượng giác
Bài tập 7: Đạo hàm của hàm số:
Giải
Đáp án: B
Đáp án B
Bài tập 8: Đạo hàm của hàm số:
Giải
Đáp án: D
Bài tập 9: Đạo hàm của hàm số y = 6(sin4x + cos4x) – 4(sin6x + cos6x) bằng biểu thức nào sau đây?
A. 24(sin3x + cos3x) – 24(sin5x + cos5x)
B. 24(sin3x – cos3x) – 24(sin5x + cos5x)
C. 2
D. 0
Giải
Đáp án: D
y’= 6(sin2x + cos2x)2 – 12sin2xcos2x – 4(sin2x + cos2x)2 + 12sin2xcos2x(sin2x + cos2x) = 2
Dạng 4: Đạo hàm của hàm hợp
Bài tập 10. Tính đạo hàm của hàm số: y= ( 5x+ 2)10.
Xem thêm: Chan dai va dai gia ' và 'chân dài', đại gia 72 mê chân dài 27
A . 10( 5x+2)9
B. 50( 5x+2)9
C. 5( 5x+2)9
D.(5x+2)9
Giải
Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’=10.(5x+2)9.( 5x+2)’=50(5x+2)9
Chọn B.
Bài tập 11. Đạo hàm của hàm số y = f(x)= ( 1- 3x2,)5 là:
A. -30x.(1-3x2 )4
B. -10x.(1-3x2 )4
C. 30(1-3x2 )4
D. -3x.(1-3x2 )4
Giải
Đặt u (x)= 1- 3×2 suy ra u (x)=( 1-3x2 )’=(1)’-3(x2 )’= -6x
Với u= 1-3×2 thì y= u5 suy ra y‘ (u)=5.u4=5.(1-3x2)4
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có :
y‘ (x)= 5.(1-3x2 )4.(-6x)= -30x.(1-3x2 )4
Chọn A.
Bài tập 12. Tính đạo hàm của hàm số : y= ( x3+ x2 -1)2 ( 2x+1)2
A. y’= ( x3+ x2-1)( 3x2+2x).(2x+1)2+(x3+ x2-1)2.( 8x+4)
B. y’= 2( x3+ x2-1)( 3x2+2x).(2x+1)2+(x3+ x2-1)2.( 8x+4)
C. y’= ( x3+ x2-1)( 3x2+2x).(2x+1)2+(x3+ x2-1)2.( 4x+4)
D. y’= 2( x3+ x2-1)( 3x2+2x).(2x+1)2-(x3+ x2-1)2.( 8x+4)
Giải
áp dụng công thức đạo hàm của của hàm hợp và đạo hàm của một tích ta có :
y’=<( x3+ x2-1) >2‘.(2x+1)2+(x3+ x2-1)2.<(2x+1)2>’
Hay y’=2( x3+ x2-1)( x3+ x2-1)’.(2x+1)2+
(x3+ x2-1)2.2( 2x+1).(2x+1)’
⇔ y’= 2( x3+ x2-1)( 3x2+2x).(2x+1)2+(x3+ x2-1)2.2( 2x+1).2
⇔ y’= 2( x3+ x2-1)( 3x2+2x).(2x+1)2+(x3+ x2-1)2.( 8x+4)
Dạng 5: Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình
Bài tập 13. Cho hàm số y= 2x3 – 6x2+ 2000. Phương trình y’= 0 có mấy nghiệm?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Giải
+ Ta có đạo hàm: y’=6x2-12x
+ Để y’=0 thì 6x2-12x=0
Vậy phương trình y’= 0 có hai nghiệm.
Chọn C.
Bài tập 14. Cho hàm số y= x4+ 2x3 – k.x2+ x- 10. Tìm k để phương trình y’=1 có một nghiệm là x= 1?
A. k= 5
B. k= -5
C. k= 2
D. k= – 3
Giải
+ Ta có đạo hàm: y’= 4x3+ 6x2 – 2kx+ 1.
+ Để y’= 1 thì 4x3+ 6x2 – 2kx+ 1 = 1
⇔ 4x3+ 6x2 – 2kx = 0. (*)
Do phương trình y’= 1 có một nghiệm là x= 1 nên phương trình (*) có một nghiệm x= 1. Suy ra: 4.13 + 6.12 – 2.k.1= 0 ⇔ 10- 2k = 0
⇔ k= 5.
Chọn A.
Bài tập 15. Cho hàm số y= 2mx – mx3. Với những giá trị nào của m để x= -1 là nghiệm của bất phương trình y" – 1
B. m 2
Bất phương trình y’ 2 2 - 1.
Chọn A.
Dạng 6: Tính đạo hàm tại 1 điểm
Bài tập 16. Cho hàm số y= x3+ 2x2 – 2x+ 10. Tính đạo hàm của hàm số tại x= 1
A. 5
B. – 2
C. 7
D. 10
Giải
Đạo hàm của hàm số đã cho là : y’= 3x2 +4x- 2
⇒ Đạo hàm của hàm số tại điểm x=1 là y’ ( 1)= 3. 12+ 4.1- 2= 5
Chọn A.
Bài tập 17. Cho hàm số y= 16√x+2x- x2. Tính đạo hàm của hàm số tại x= 4.
A. – 1
B. – 2
C. 0
D. 2
Giải
Tại các điểm x > 0 thì hàm số đã cho có đạo hàm và y’= 8/√x+2-2x
⇒ Đạo hàm của hàm số đã cho tại x= 4 là : y’ ( 4)= 8/√4+2-2.4= -2
Chọn B.
Bài tập 18. Cho hàm số y= ( 2x+ x2)2. Tính đạo hàm của hàm số tại x= – 1?
A. 0
B. 2
C. – 2
D .4
Giải
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Đạo hàm của hàm số đã cho là:
y’=2( 2x+ x2 )( 2x+ x2 )’ = 2( 2x+ x2 )( 2+2x)
⇒Đạo hàm của hàm số tại x= -1 là y’( – 1) = 0.
Chọn A.
Dạng 7: Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác
Bài tập 19. Cho hàm số: y= sinx+ cosx. Tìm nghiệm của phương trình y’=0
Giải
Bài tập 20. Cho hàm số: y= tanx+ cot x. Giải phương trình y’=0
Giải
Bài tập 21. Cho hàm số y=x3+ 3x+ sin3 x. Giải bất phương trình y’ ≥0
Giải
Ta có đạo hàm: y’=3x2+ 3+ 3sin2x. cosx
Với mọi x ta có; cosx ≥ – 1 ⇒ 3sin2 x.cosx ≥ – 3.sin2 x
⇒ 3+ 3sin2x.cosx ≥ 3- 3.sin2 x ⇔ 3+ 3sin2x.cosx ≥ 3.cos2x ( 1)
Lại có 3x2 ≥0 ∀ x (2)
Từ( 1) và ( 2) vế cộng vế ta có:
y’=3x2+ 3+ 3sin2x. cosx ≥3x2+3cos2 x ≥0 với mọi x.
Vậy với mọi x ta luôn có: y’ ≥0
Chọn C.
Hy vọng với những bài tập đạo hàm trên sẽ hữu ích cho các bạn. Mọi góp ý và thắc mắc các bạn vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để atlantis.edu.vn ghi nhận và hỗ trợ.
