Bất đẳng thức giành được từ hằng đẳng thức dạng $(a-b)^2ge 0$
$a^2+b^2ge 2ab;able left( fraca+b2 ight)^2;a^2+b^2ge frac12(a+b)^2.$ vệt bằng xẩy ra khi còn chỉ khi $a=b.$$a^2+b^2+c^2ge ab+bc+ca.$ vệt bằng xảy ra khi và chỉ còn khi $a=b=c.$$a^2+b^2+c^2ge frac13(a+b+c)^2.$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ còn khi $a=b=c.$$(a+b+c)^2ge 3(ab+bc+ca).$ lốt bằng xẩy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$Bất đẳng thức với nhì căn thức cơ bản
$sqrta+sqrtbge sqrta+b.$ vệt bằng xẩy ra khi và chỉ còn khi $a=0$ hoặc $b=0.$$sqrta+sqrtble sqrt2(a+b).$ dấu bằng xẩy ra khi và chỉ còn khi $a=b.$Ví dụ 1:Cho hai số thực $x,y$ thoả mãn $x+y=2left( sqrtx-3+sqrty+3 ight).$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=4(x^2+y^2)+15xy.$| A. $min P=-80.$ | B. $min P=-91.$ | C. $min P=-83.$ | D. $min P=-63.$ |
Giải. Bạn đang xem: Bất đẳng thức cơ bản
Và $x+y=2left( sqrtx-3+sqrty+3 ight)le 2sqrtleft( 1+1 ight)left( x-3+y+3 ight)=2sqrt2(x+y)Rightarrow x+yle 8.$
Nếu $x+y=0Leftrightarrow x=3;y=-3Rightarrow P=-63.$Nếu $x+yin <4;8>,$ khởi đầu từ điều kiện khẳng định căn thức ta có: <(x-3)(y+3)ge 0Rightarrow xyge 3(y-x)+9.>Suy ra
<eginarrayc phường = 4x^2 + 4y^2 + 15xy = 4(x + y)^2 + 7xy ge 4(x + y)^2 + 7left< 3(y - x) + 9 ight>\ = left< 4(x + y)^2 - 21(x + y) ight> + left( 42y + 63 ight)\ ge left( 4.4^2 - 21.4 ight) + left( 42.( - 3) + 63 ight) = - 83. endarray>
Dấu bởi đạt trên $x=7,y=-3.$ Đối chiếu nhì trường thích hợp ta Chọn lời giải C.
*Chú ý: Hàm số $y=4t^2-21t$ đồng vươn lên là trên đoạn $<4;8>$ yêu cầu ta có reviews $4(x+y)^2-21(x+y)ge 4.4^2-21.4.$
Bất đẳng thức AM – GM (Sách giáo khoa nước ta gọi là bất đẳng thức Côsi)
Với nhì số thực ko âm ta có $a+bge 2sqrtab.$ vệt bằng xẩy ra khi và chỉ khi $a=b.$Với ba số thực ko âm ta có $a+b+cge 3sqrt<3>abc.$ vệt bằng xẩy ra khi còn chỉ khi $a=b=c.$Với $n$ thực không âm ta bao gồm $a_1+a_2+...+a_nge nsqrt| A. $frac32.$ | B. $5.$ | C. $4.$ | D. $frac154.$ |
Giải. Chú ý $log _ab=dfracln bln a.$ Vậy $dfracln left( 4a^2+b^2+1 ight)ln left( 2a+2b+1 ight)+dfracln left( 2a+2b+1 ight)ln left( 4ab+1 ight)=2.$
Sử dụng AM – GM có
$dfracln left( 4a^2+b^2+1 ight)ln left( 2a+2b+1 ight)+dfracln left( 2a+2b+1 ight)ln left( 4ab+1 ight)ge 2sqrtdfracln (4a^2+b^2+1)ln (4ab+1).$
Mặt khác $4a^2+b^2ge 2sqrt4a^2.b^2=4abRightarrow 4a^2+b^2+1ge 4ab+1Rightarrow dfracln (4a^2+b^2+1)ln left( 4ab+1 ight)ge 1.$
Do đó dấu bởi phải xảy ra tức
Do kia $a+2b=frac34+3=frac154.$ Chọn câu trả lời D.
Ví dụ 2:Cho những số thực dương $x,y,z.$ Biết giá bán trị nhỏ dại nhất của biểu thức $P=dfracx^2y+dfracy^24z+dfracz^2x+dfrac175sqrtx^2+94(x+1)$ là $dfracab$ cùng với $a,b$ là những số nguyên dương với $fracab$ tối giản. Tính $S=a+b.$| A. $S=52.$ | B. $S=207.$ | C. $S=103.$ | D. $S=205.$ |
Giải.Ta reviews ba số hạng đầu nhằm mất biến hóa y cùng z bằng cách sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
$dfracz^2x+dfracy^28z+dfracy^28z+dfracx^24y+dfracx^24y+dfracx^24y+dfracx^24yge 7sqrt<7>dfracz^2xleft( dfracy^28z ight)^2left( dfracx^24y ight)^4=dfrac7x4.$
Vậy $Pge f(x)=dfrac7x4+dfrac175sqrtx^2+94(x+1)ge underset(0;+infty )mathopmin ,f(x)=f(4)=dfrac2034.$ Chọn giải đáp B.
Dấu bằng đạt tại $left{ eginalign&dfracz^2x=dfracy^28z=dfracx^24y, \ và x=4 \ endalign ight.Leftrightarrow (x;y;z)=(4;4;2).$
Ví dụ 3.Cho những số thực $a,b,c$ to hơn $1$ chấp nhận $log _abc+log _bca+4log _cab=10.$ Tính quý hiếm biểu thức $P=log _ab+log _bc+log _ca.$| A. $P=5.$ | B. $P=frac72.$ | C. $P=frac214.$ | D. $P=frac92.$ |
Giải. Chú ý biến đổi logarit $log _axy=log _ax+log _ay(x>0,y>0),00;log _bc>0;log _ca>0$ và xem xét tính hóa học $log _xy.log _yx=1left( 0Ví dụ 4.Có toàn bộ bao nhiêu bộ ba số thực $(x;y;z)$ hài lòng đồng thời những điều kiện bên dưới đây<2^sqrt<3>x^2.4^sqrt<3>y^2.16^sqrt<3>z^2=128> và $left( xy^2+z^4 ight)^2=4+left( xy^2-z^4 ight)^2.$
| A. $8.$ | B. $4.$ | C. $3.$ | D. $2.$ |
Giải. Ta tất cả <2^sqrt<3>x^2.4^sqrt<3>y^2.16^sqrt<3>z^2=128Leftrightarrow 2^sqrt<3>x^2+2sqrt<3>y^2+4sqrt<3>z^2=2^7Leftrightarrow sqrt<3>x^2+2sqrt<3>y^2+4sqrt<3>z^2=7.>
Khai thác điều kiện số 2, ta có
Mặt khác theo bất đẳng thức AM – GM cho 7 số thực dương ta có
Do kia dấu bởi phải xảy ra tức
Mỗi số $y,z$ gồm 2 cách vậy có tất cả $1.2^2=4$ cỗ số thực thoả mãn. Chọn đáp án B.
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Sách giáo khoa việt nam gọi là bất đẳng thức Bunhiacopsky)
Ta luôn có $(a^2+b^2)(x^2+y^2)ge (ax+by)^2.$ dấu bằng xảy ra khi còn chỉ khi $fracax=fracby.$Ta giỏi sử dụng: $-sqrt(a^2+b^2)(x^2+y^2)le ax+byle sqrt(a^2+b^2)(x^2+y^2).$
Dấu bởi bên nên đạt trên $fracax=fracby=k>0;$ dấu bằng bên trái đạt tại $fracax=fracby=k
Ta luôn có $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)ge (ax+by+cz)^2.$ lốt bằng xẩy ra khi và chỉ còn khi $fracax=fracby=fraccz.$Ta luôn luôn có $(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)ge (a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n)^2.$ vết bằng xẩy ra khi và chỉ khi $fraca_1x_1=fraca_2x_2=...=fraca_nx_n.$Ví dụ 1:Cho nhì số thực $x,y$ mãn nguyện $x^2+y^2le 2x+3y.$ giá bán trị lớn nhất của biểu thức $2x+y$ bằng
| A. $frac19+sqrt192.$ | B. $frac7+sqrt652.$ | C. $frac11+10sqrt23.$ | D. $frac7-sqrt102.$ |
Giải. Ta có biến đổi giả thiết: $x^2-2x+y^2-3yle 0Leftrightarrow (x-1)^2+left( y-frac32 ight)^2le frac134.$
Khi kia $2x+y=2(x-1)+left( y-frac32 ight)+frac72le sqrtleft( 2^2+1^2 ight)left( (x-1)^2+left( y-frac32 ight)^2 ight)+frac72le sqrt5.frac134+frac72=frac7+sqrt652.$
Dấu bởi đạt trên (left{ eginarrayl fracx - 12 = fracy - frac321 = k>0\ 2x + y = frac7 + sqrt 65 2 endarray ight. Leftrightarrow x = frac5 + sqrt 65 5;y = frac15 + sqrt 65 10.) Chọn lời giải B.
Ví dụ 2: Cho các số thực $x,y,z$ bằng lòng $x^2+y^2+z^2-4x+2y-12le 0.$ giá bán trị lớn số 1 của biểu thức $2x+3y-2z$ bằng| A. $17.$ | B. $25.$ | C. $21.$ | D. $24.$ |
Giải. Biến đổi giả thiết gồm $(x-2)^2+(y+1)^2+z^2le 17.$
Khi đó
(eginarrayc 2x + 3y - 2z = left( 2(x - 2) + 3(y + 1) - 2z ight) + 4\ le sqrt left( 2^2 + 3^2 + ( - 2)^2 ight)left( (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + z^2 ight) + 4 le sqrt 17.17 + 4 = 21. endarray)
Dấu bằng đạt tại (left{ eginarrayl fracx - 22 = fracy + 13 = fracz - 2\ 2x + 3y - 2z = 21 endarray ight. Leftrightarrow x = frac7417,y = frac4317,z = - frac4017.) Chọn câu trả lời C.
Ví dụ 3. Cho nhì số thực $x,y$ biến đổi thoả mãn $x+y=sqrtx-1+sqrt2y+2.$ hotline $a,b$ lần lượt là giá trị lớn số 1 và giá bán trị nhỏ nhất của biểu thức $S=x^2+y^2+2(x+1)(y+1)+8sqrt4-x-y.$ Tính $P=a+b.$| A. $P=44.$ | B. $P=41.$ | C. $P=43.$ | D. $P=42.$ |
Giải. Ta bao gồm $x+y=sqrtx-1+sqrt2(y+1)le sqrt3(x+y)Rightarrow t=x+yin <0;3>.$
Khi đó
$eginalign& S=(x+y)^2+2(x+y)+8sqrt4-x-y+2 \& =f(t)=t^2+2t+8sqrt4-t+2in <18;25>,forall tin <0;3>Rightarrow P=18+25=43.endalign$
Chọn câu trả lời C.
Ví dụ 4:Số phức $z$ đồng tình $left| z+1-2i ight|=2sqrt2,$ giá trị lớn số 1 của biểu thức $aleft| z-1 ight|+bleft| z+3-4i ight|,left( a,b>0 ight)$ bằng
Giải.Đặt $z=x+yiRightarrow left| z+1-2i ight|=2sqrt2Leftrightarrow (x+1)^2+(y-2)^2=8.$
Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz có
$egingathered p. = asqrt (x - 1)^2 + y^2 + bsqrt (x + 3)^2 + (y - 4)^2 leqslant sqrt left( a^2 + b^2 ight)left( left( x - 1 ight)^2 + y^2 + left( x + 3 ight)^2 + left( y - 4 ight)^2 ight) \ = sqrt left( a^2 + b^2 ight)left( 2x^2 + 2y^2 + 4x - 8y + 26 ight) = sqrt 2left( a^2 + b^2 ight)left( left( x + 1 ight)^2 + left( y - 2 ight)^2 + 8 ight) \ = sqrt 2left( a^2 + b^2 ight)left( 8 + 8 ight) = 4sqrt 2left( a^2 + b^2 ight) . \ endgathered $
Chọn câu trả lời B.
Xem thêm: Cách Luyện Viết Tiếng Anh Hàng Ngày, Cách Luyện Viết Tiếng Anh Hiệu Quả Mỗi Ngày
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức
Với những số thực dương $x_1,x_2,...,x_n$ ta luôn luôn có $dfraca_1^2x_1+dfraca_2^2x_2+...+dfraca_n^2x_nge frac(a_1+a_2+...+a_n)^2x_1+x_2+...+x_n.$ Dấu bởi đạt trên $dfraca_1x_1=dfraca_2x_2=...=dfraca_nx_n.$
Ví dụ 1: Cho hàm số $y=(x+m)^3+(x+n)^3+(x+p)^3-x^3,$ tất cả đồ thị $(C).$ Tiếp đường của $(C)$ trên điểm có hoành độ $x=1$ có hệ số góc nhỏ dại nhất. Giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức $m^2+2n^2+3p^2$ bằng| A. $frac1211.$ | B. $frac9611.$ | C. $frac4811.$ | D. $frac2411.$ |
Giải. Hệ số góc của tiếp con đường là
$k=y"=3(x+m)^2+3(x+n)^2+3(x+p)^2-3x^2=6x^2+6(m+n+p)x+3m^2+3n^2+3p^2$ đạt giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất tại $x=-frac6(m+n+p)2.6=-fracm+n+p2.$ Theo mang thiết bao gồm $-fracm+n+p2=1Leftrightarrow m+n+p=-2.$
Khi đó theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có:
$m^2+2n^2+3p^2=dfracm^21+dfracn^2frac12+dfracp^2dfrac13ge dfrac(m+n+p)^21+dfrac12+frac13=dfrac41+dfrac12+dfrac13=dfrac2411.$
Dấu bởi đạt tại (left{ eginarrayl m + n + p = - 2\ dfracm1 = dfracnfrac12 = dfracpdfrac13 endarray ight. Leftrightarrow m = - dfrac1211,n = - dfrac611,p = - dfrac411.) Chọn đáp án D.
Ví dụ 2: Cho các số thực $x,y,z$ mãn nguyện $xy+yz+zx=1.$ giá chỉ trị nhỏ nhất của biểu thức $3x^2+4y^2+5z^2$gần nhấtvới công dụng nào dưới đây ?| A. $1,33.$ C. $3,89.$ | B. $1,94.$ D. $2,67.$ |
Giải. Ta tiến công giá: $3x^2+4y^2+5z^2ge 2k(xy+yz+zx)Leftrightarrow (k+3)x^2+(k+4)y^2+(k+5)z^2ge k(x+y+z)^2.$
Trong kia $k$ là 1 trong hằng số dương được lựa chọn sau, lúc đó giá trị bé dại nhất của biểu thức $3x^2+4y^2+5z^2$ bằng $2k.$
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có:
$(k+3)x^2+(k+4)y^2+(k+5)z^2=dfracx^2frac1k+3+dfracy^2frac1k+4+dfracz^2frac1k+5ge dfrac(x+y+z)^2dfrac1k+3+dfrac1k+4+dfrac1k+5.$
Vậy hằng số $k$ buộc phải tìm là nghiệm dương của phương trình $dfrac1dfrac1k+3+dfrac1k+4+dfrac1k+5=kLeftrightarrow k^3+6k^2-30=0Rightarrow kapprox 1,9434.$ do thế chọn lời giải C.
Bất đẳng thức Mincopski (bất đẳng thức véctơ)
$sqrta^2+b^2+sqrtm^2+n^2ge sqrt(a+m)^2+(b+n)^2.$ lốt bằng xảy ra khi và chỉ khi $fracam=fracbn=k>0.$Ví dụ 1:Giá trị bé dại nhất của biểu thức $sqrt(x-1)^2+y^2+sqrt(x+1)^2+y^2+left| y-2 ight|$ bằng| A. $sqrt5.$ | B. $2.$ | C. $2+sqrt3.$ | D. $frac4+sqrt32.$ |
Giải.Sử dụng bất đẳng thức Mincopsky ta có
(eginarrayc sqrt (x - 1)^2 + y^2 + sqrt (x + 1)^2 + y^2 = sqrt (x - 1)^2 + y^2 + sqrt ( - x - 1)^2 + y^2 \ ge sqrt (x - 1 - x - 1)^2 + (y + y)^2 = sqrt 4y^2 + 4 = 2sqrt y^2 + 1 . endarray)
Do đó $sqrt(x-1)^2+y^2+sqrt(x+1)^2+y^2+left| y-2 ight|ge f(y)=2sqrty^2+1+left| y-2 ight|ge undersetmathbbRmathopmin ,f(y)=fleft( frac1sqrt3 ight)=2+sqrt3.$
Dấu bằng đạt tại (left{ eginarrayl fracx - 1 - x - 1 = fracyy\ y = frac1sqrt 3 endarray ight. Leftrightarrow x = 0;y = frac1sqrt 3 .) Chọn đáp án C.
Bạn hiểu cần bạn dạng PDF của nội dung bài viết này hãy nhằm lại comment trong phần comment ngay mặt dưới bài viết này Vted sẽ gửi cho những bạn
Đề thi thử xuất sắc nghiệp trung học phổ thông 2023 môn Toán có lời giải chi tiếtCombo 4 Khoá Luyện thi THPT nước nhà 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5Fj
QXMYs7.png" alt="*">
XEM TRỰC TUYẾN
>>Tải về bài viết Các bất đẳng thức cơ bạn dạng cần lưu giữ áp dụng trong các bài toán giá chỉ trị lớn nhất và giá chỉ trị nhỏ tuổi nhấtNội Dung
I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SIBất đẳng thức Cô-si: kim chỉ nan cần ghi lưu giữ và các dạng bài bác tập thường xuyên gặpI. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI
1. Bất đẳng thức Cô-si là gì ?Bất đẳng thức Cô-si hay còn gọi là bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức đối chiếu giữa trung bình cộng và vừa phải nhân của n số thực ko âm. Theo đó, trung bình cùng của n số thực ko âm luôn lớn hơn hoặc bởi trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bởi trung bình nhân khi còn chỉ khi n số đó bằng nhau.
Chúng ta tất cả thể chứng tỏ bất đẳng thức AM-GM bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy.
2. Những dạng tuyên bố của bất đẳng thức Cô-sia. Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cô-si
Cho a1, a2,…, an là những số thực dương, ta có các dạng tuyên bố như sau:
Dạng 1: a1+a2 ≥ 2√a1a2Dạng 2: a1+a2+…+an ≥ n√a1a2…anDạng 3: (a1pa21-p)1/p ≤ pa1+(1-p)a2Dạng 4: (a1pa2p…an1-pq)1/p(a1qa2q…an1-pq)1/q ≤ pa1+qa2+(1-p-q)a3+…+(1-p-q)an
Dạng 5:(a1pa2p…anp)1/p ≤ (a1+a2+…+an)/nb. Dạng đặc biệt của bất đẳng thức Cô-si
Đây là những trường hợp đặc trưng của dạng tổng quát khi n=2, n=3.c. Một vài bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức Cauchyd. để ý khi sử dụng bất đẳng thức AM-GMKhi áp dụng bất đẳng thức Cô đắm say thì các số phải là đông đảo số không âm.Bất đẳng thức Cô yêu thích thường được áp dụng khi trong BĐT cần minh chứng có tổng cùng tích.Điều kiện xẩy ra dấu ‘=’ là các số bởi nhau.Bất đẳng thức Cô đắm đuối còn có hiệ tượng khác thường xuất xắc sử dụng.Đối với hai số: x2+y2 ≥ 2xy, x2+y2 ≥ (x+y)2/2, xy ≤ (x+y)2/4.Đối với tía số: abc ≤ (a3+b3+c3)/3, abc ≤ ((a+b+c)/3)3.
Bất đẳng thức Cô-si: triết lý cần ghi lưu giữ và các dạng bài tập hay gặp
Bất đẳng thức Cô-si giỏi bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức đối chiếu giữa trung bình cùng và trung bình nhân của n số thực ko âm. Bài viết hôm nay, trung học phổ thông Lê Hồng Phong sẽ trình làng về một trong những kiến thức cần nhớ về bất đẳng thức Cauchy (Cô si) và một vài dạng bài xích tập thường xuyên gặp.
Bất đẳng thức Cosi – máu 1 – You
Tube
I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI
1. Bất đẳng thức Cô-si là gì?Tên đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. Tất cả nhiều cách để chứng minh bđt này tuy nhiên hay độc nhất vô nhị là cách chứng minh quy hấp thụ của Cauchy.
Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cùng và trung bình nhân của n số thực không âm được tuyên bố như sau:
Trung bình cộng của n số thực ko âm luôn lớn hơn hoặc bởi trung bình nhân của chúng, cùng trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi còn chỉ khi n số đó bởi nhau.
Nghĩa là:Bất đẳng thức Cô mê say với 2 số thực ko âm:Dấu “=” xẩy ra khi còn chỉ khi a = b.Bất đẳng thức Cô mê man với n số thực không âm:Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:2. Các dạng tuyên bố của bất đẳng thức Cô-sia. Dạng bao quát của bất đẳng thức Cô-si
Cho a1, a2,…, an là các số thực dương ta có:
Dạng 1:Dạng 2:Dạng 3:Dạng 4:II. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI
a. Bài tập có lời giải:
Bài 1: Tìm giá bán trị nhỏ nhất của biểu thức cùng với x > 0Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si mang lại hai số x > 0 cùng ta có:
Dấu “=” xẩy ra khi còn chỉ khi (do x > 0)
Vậy min
Bài 2: đến x > 0, y > 0 vừa lòng điều kiện . Tìm giá chỉ trị lớn nhất của biểu thứcLời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:
Lại có, áp dụng bất đẳng thức Cô-si đến hai số x > 0, y > 0 ta có:
Dấu “=” xảy ra khi còn chỉ khi
Vậy min
A = 4 khi và chỉ còn khi x = y = 4
Nhận xét: bài bác toán đã có được dấu bằng khi và đưa ra khi a = b = c = 1. Ta đang sử dụng cách thức làm trội làm sút như sau:
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số a, b, c ko âm có:
Tương từ ta gồm và
Cộng vế với vế ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi a = b = c = 1
a, với x > 0
(gợi ý: thay đổi rồi vận dụng bất đẳng thức Cô-si)
b, cùng với x > 0
c, cùng với x > 2
(gợi ý: đổi khác rồi vận dụng bất đẳng thức Cô-si)
III. KẾT LUẬN
Như vậy, qua bài viết trên, bọn họ đã tò mò về bất đẳng thức Cô-si (bất đẳng thức AM-GM) và các dạng bài tập thường chạm mặt của nó. Bất đẳng thức Cô-si là trong những bất đẳng thức cơ bạn dạng và đặc trưng nhất trong toán học, được áp dụng rất rộng lớn rãi trong nhiều lĩnh vực, nhất là trong giám sát và đo lường và xác suất. Việc nắm vững bất đẳng thức này đang giúp chúng ta giải quyết lập cập và đúng đắn các việc đòi hỏi đo lường và thống kê phức tạp. Hy vọng bài viết này sẽ giúp đỡ ích cho chúng ta trong việc cải thiện kiến thức và khả năng giải toán của mình.
Phạm Phương Mai
Phạm Phương Mai là một trong những tác đưa nổi tiếng với nhiều kinh nghiệm viết blog cho những trang web số 1 tại Việt Nam. Với kỹ năng và chuyên môn sâu rộng trong nhiều lĩnh vực, cô sẽ viết nhiều bài bác blog thú vị được sự thân thiện của đông đảo người đọc.
